نظريه اعداد

 

 

ويژگي هاي تقسيم بندي

1)صفر بر هر عدد صحيح تقسيم پذير است يعني به ازاي bєZ داريم b|0 زيرا 0=b(0)

نتيجه: مجموعه همه مقسوم عليه هاي صفر، مجموعه Z است.

2) به ازاي هر عدد صحيح a داريم:

a|a ,0a|a ,1|a , -1|a

زيرا:

a=(a)×1    , a=(-a)×(-1)  , a=1×(a)  , a=(-a)×(-1)

نتيجه: هر عدد صحيح (جز 1 و 1-) حداقل 4 مقسوم عليه دارد.

3)

 a|b ==> -a|b(الف

 a|b ==> a|-b(ب

a|b ==> a|mb (ج

 a|b ==> ma|mb(د

اثبات: الف)

a|b ==> b=ak

==> b= (-a) (-n) ==> -a|b

نظريه اعداد

تقسيم پذيري:

تعريف : فرض كنيد b,a دو عدد صحيح اند. و a≠0 مي گوييم b به a تقسيم پذير يا بخش پذير است هر گاه عدد صحيحي مانند q وجود داشته باشد به طوري كه b=aq در اين صورت مي نويسيم a|b و به صورت هاي زير مي خوانيم:

1)عدد صحيح a عدد صحيح b را مي شمارد.

2)عدد صحيح a، عدد صحيح b را اعشار مي كند.

3) a يك مقسوم عليه b است.

4) a يك شمارنده b است.

5) a يك عامل (سازه) b است.

6) b يك مضرب a است.

اگر b بر a بخش پذير نباشد مي نويسيم a|b .

تذكر: 0|0 زيرا 0=1×0 ==> 0|0

مثال: 35/7- ، زيرا (0-) (7-) = 35

نتيجه: اگر a يك مقسوم عليه b باشد، -a نيز يك مقسوم عليه b است مثلاً مقسوم عليه هاي 8 عبارتند از:

 ±2, ±4, ±8} {±1,

اثبات ب)

a|b ==> b=ak

-b = a (-k) a|-b

نتيجه: مجموعه مقسوم عليه هاي دو عدد قرينه يكسان است:

4) a|b , c|d ==> ac|ad           

5) a|b , b|c ==> a|c              

6) a|b , b≠0 ==> |a| ≤ |b|      

7) a|b , b|a ==> a= ± b        

8) a|b , a|c ==> a|b ± c       

ثابت كنيد به ازاي هر عدد صحيح a  داريم : 2+ a ² | 4

حل: اگر a فرد باشد پس a ²  نيز فرد است و 2+ a ² هم فرد است پس2+ a²  مضرب 4 نيست.

   اگر a زوج باشد پس k2 = a در نتيجه 4k²+2= a²+2 از اين رباطه هم نتيجه مي شود در اين حالت نيز a²+2 بر 4 بخش پذير نيست.

تركيب خطي دو عدد صحيح

   تعريف : فرض كنيد b ,a  دو عدد صحيح هستند هر دو عدد صحيح به صورت ma+nb را كه m,n εZ يك تركيب خطي b,a مي گوييم.

 مثال: 6 يك تركيب خطي 30 و 18 است زيرا 3.(2) + 18 .(-3) =6

مثال: آيا 186 يك تركيب خطي 12 و 28 است؟

12m +28n = 186 ==> 6m + 14n =93

با 12 و 28 عدد 186 را نمي توان ساخت.

   اگر با دو عدد b , a بتوانيم عدد يك را بسازيم در اين صورت با a و b همه اعداد صحيح را مي توان ساخت.

اثبات : am +bn=1

مي خواهيم عدد k را بدست آوريم

a (km) + b (kn) = k k ×

قضيه : هر گاه عددي دو عدد را بشمارد هر تركيب خطي آن دو عدد را مي شمارد.

a|b , a|c ==> a|bx +cg x,g εZ

a|b ==> a|bx

    اثبات                                      a|bx + cg  

a|c ==> a|cg

الگوريتم تقسيم

   قضيه: فرض كنيد a و b دو عدد صحيح هستند كه b≠0 در اين صورت اعداد صحيح منحصر به فردq و r وجود دارند به طوري كه:

a=bq+r           0≤r < |b|

اعداد صحيح q و r به ترتيب بر حسب قرارداد خارج قسمت و باقي مانده تقسيم a بر b مي گوييم.

تذكر: اگر a و b دو عدد طبيعي باشند به طوري كه a<b، در اين صورت باقي مانده تقسيم a بر b مساوي a است زيرا a=b(0)+a.

مثال: الف) نشان دهيد هر عدد صحيح را مي توان به شكل 2k+1 , 2k نوشت.

حل:    a=2k+r       0≤r < 2

پس r فقط مقادير 0 يا 1 را مي گيرد.

A زوج است     r=0 ==> a- 2k 

A زوج است r=1 ==> a=2k+1 

با كمك الگوريتم تقسيم گزاره هاي زير را مي توان اثبات كرد.

الف: مجموع و تفاضل دو عدد زوج عددي زوج است.

ب: مجموع و تفاضل دو عدد زوج عددي زوج است.

ج: حاصلضرب دو عدد فرد عددي فرد است.

تعداد مضارب صحيح و مثبت b و كوچكتر يا مساوي با a برابر است با: [  a]         [  ] = جزء صحيح.

مثال از 1 تا 100 چند مضرب 7 وجود دارد.

14= [7/100  ]

بزرگترين مقسوم عليه مشترك

تعريف: دو عدد صحيح a و b را در نظر مي گيريم. عدد صحيح c را يك مقسوم عليه مشترك a و b مي گوييم هر گاه c|a و c|b.

تعريف: فرض كنيد a و b دو عدد صحيح دلخواه اند. اگر D (a) و  D(b) به ترتيب مجموعه مقسوم عليه هاي مثبت b,a باشند آنگاه بزرگترين مقسوم عليه مشترك b,a كه با نمادهاي(a,b) ، a π b يا ب.م.م نمايش داده مي شود و به شكل زير تعريف مي شود.

بزرگترين عضو مجموعه مقسوم عليه هاي مشترك و مثبت (a,b)=b,a.

نكته:

(a,b) =(-a ,b )=(a,-b)= (-a , -b)

اثبات زير مجموعه مقسوم عليه هاي دو قرينه يكسان است.